1.-Funciones potenciales
Después de las polinómicas, que fue la última especie de funciones de la que estuvimos hablando, nos interesan las potenciales, que poseen la siguiente apariencia:
Estas funciones, caracterizadas porque la variable independiente se presenta en forma de potencia, son utilizadas a menudo por los economistas para estudiar, entre otros fenómenos, las preferencias de los consumidores, la producción de una empresa (funciones de utilidad y de producción Cobb-Douglas) o el crecimiento económico.
Una función potencial sería esta:
El dominio y el rango de esta función estarían restringidos al campo de los números reales positivos:
2.-Funciones exponenciales
Se dice que una cantidad aumenta (o disminuye) exponencialmente cuando lo hace en un factor fijo por unidad de tiempo. Por ejemplo, la población de Cabeza del Buey (Badajoz) crecería exponencialmente si cada 50 años se duplicara (aunque por desgracia en la realidad ocurra más bien lo contrario). Si el factor fijo es a, podemos representar la variación de la cantidad a través de una función exponencial f donde A y a son constantes positivas y x representa el período de tiempo en el que nos encontramos:
El resultado que nos da la función es el producto del número que constituye la base (a) multiplicado tantas veces por sí mismo como indique el exponente x, y multiplicado el resultado por A.
Estas funciones aparecen en muchos modelos económicos, sociales o físicos. Se pueden describir mediante funciones exponenciales fenómenos como el crecimiento económico, el crecimiento demográfico o el interés acumulado continuamente. Asimismo, tienen una serie de propiedades que conviene recordar:
- La gráfica de la función es creciente (si x aumenta, f(x) tiende a infinito; si x disminuye, f(x) tiende a 0) cuando la base a es mayor que 1, y decreciente (si x aumenta, f(x) tiende a 0; si x disminuye, f(x) tiende a infinito) si la base se encuentra entre 0 y 1.
- La base a debe ser siempre mayor que 0 (la población no puede aumentar a un factor de -2).
- De las funciones exponenciales solo es posible obtener números positivos (si la población aumenta no se puede obtener una cantidad negativa de personas).
- Operaciones:
Aquí tenemos un ejemplo de función exponencial:
Todos los números reales pertenecerían al dominio de esta función. Mientras tanto, la imagen estaría compuesta por los positivos y existiría una asíntota horizontal (y = 0):
3.-Funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Así, si y es el número de períodos que tienen que pasar para que un proceso exponencial de base a alcance una población de tamaño x, el logaritmo en base a de x es y (si para que la población de Cabeza del Buey se duplique tiene que pasar un período (1) de 50 años, el logaritmo en base 2 de 2 es 1):
Tal como ocurría con las exponenciales, las gráficas de las funciones logarítmicas tienen una forma u otra dependiendo de la base a. De este modo, si a es mayor que 1, la función es creciente (cuando x aumenta, y tiende a infinito; cuando x disminuye hasta 0, y tiende a infinito negativo), y si a está entre 0 y 1, la función es decreciente (cuando x aumenta, y tiende a infinito negativo; cuando x disminuye hasta 0, y tiende a infinito).
Por otro lado, cuando la base del logaritmo sea el número e, tendremos un logaritmo neperiano:
A menudo la base de un logaritmo es el número 10. En ese caso tendremos un logaritmo decimal:
También debemos tener en cuenta una serie de propiedades relativas a las operaciones que podemos realizar con logaritmos:
Un ejemplo de función logarítmica sería este:
El dominio de esta función está comprendido entre 0 (sin incluir) e infinito positivo y el rango está formado por todos los números reales.
4.-Funciones trigonométricas
Terminamos nuestro repaso de los tipos de funciones con las funciones trigonométricas. Aunque no son muy frecuentes en Economía, conviene recordar que representan procesos cíclicos, que son aquellos que comienzan en algún punto, pasan por una serie de etapas intermedias y terminan en el punto inicial. Las funciones trigonométricas son tres: seno, coseno y tangente. También podríamos considerar sus recíprocas (secante, cosecante y cotangente) y las inversas de estas seis (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante, arcocosecante y arcocotangente).
CONTINUARÁ...
BIBLIOGRAFÍA
- GARCÍA PINEDA, P.; NÚÑEZ DEL PRADO, J.A.; GÓMEZ SEBASTIÁN, A. (2007): Iniciación a la Matemática Universitaria, Thomson, Madrid.
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
Autor:
Manuel V. Montesinos
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