Después de tratar el concepto de función de una variable real y sus tipos en los capítulos anteriores, en este vamos a completar nuestro repaso con las derivadas.
1.-¿Qué es una derivada?
¿Y qué es una derivada? Desde luego esta es una pregunta de vital importancia. En muchas disciplinas científicas, incluida la Economía, suele ser importante el estudio de la velocidad de variación de ciertas magnitudes con el paso del tiempo. Para calcular la posición futura de un planeta, para predecir el crecimiento de la población de una especie, o para dar una estimación de la demanda futura de un bien, necesitamos tener información sobre sus tasas de variación.
Precisamente el concepto matemático que se usa para describir la tasa de variación es el de derivada. De este modo, si una función es algo que varía, su derivada sería la manera específica de variación que tiene esa función. Es como si te encuentras con tu ex pareja después de varios años y le dices: ¡hay que ver cómo has cambiado!, mientras él o ella responde con algo de socarronería: ¡pues tú no has cambiado nada!. Estas dos expresiones se refieren a derivadas. Si pudiéramos conocer las funciones matemáticas a las que se ajustan los cambios físicos experimentados por estas dos personas, la derivada de uno de ellos reflejaría un cambio muy grande y la del otro una variación prácticamente nula.
2.-Definición formal de derivada
Tras este ejemplo que nos permite entender mejor a qué nos referimos cuando hablamos de derivadas, procedamos a definir el concepto formalmente. Lo podemos hacer de dos maneras.
Primero, como modo de variación de la función considerada. Sea f(x) esa función y x0 y x puntos de su dominio, la variación absoluta de la función entre ambos puntos se calcula como la diferencia entre el valor de la función en cada uno de ellos:
Variación absoluta de una función entre dos puntos.
Si dividimos el resultado que obtenemos de esta manera entre la diferencia que existe entre los valores asignados a la variable independiente, obtendremos la variación en términos relativos:
Variación relativa de una función entre dos puntos.
Es importante comprender qué es lo que distingue estos dos tipos de variaciones. Calcular una variación absoluta es como calcular la diferencia que hay entre la cantidad de alcohol en sangre de un adolescente un viernes a las cuatro de la mañana y la cantidad a las doce de la noche. Sin más. Mientras tanto, gracias a la variación relativa podremos saber la velocidad a la que varía la cantidad de alcohol en sangre de ese chaval, en ml/h, si medimos el alcohol en mililitros.
Poniendo un ejemplo menos agresivo, notemos que la distancia que recorre un coche entre Cabeza del Buey y Madrid es una variación absoluta, pero la velocidad media a la que se ha conducido es una variación relativa.
Vale, pero entonces, ¿es esta la velocidad que marca el cuentakilómetros? No. La velocidad que marca el cuentakilómetros de ese coche sería la resultante de esta expresión:
Límite cuando x tiende a x0 de la variación relativa de una función entre dos puntos.
Si f(x) representara la posición del coche en cada momento x, el resultado de este límite es la velocidad del coche en cada instante. Esto, señoras y señoras, es una derivada. Así, sea f una función de una variable real y x0 un punto perteneciente a su dominio, la derivada de f en x0 sería:
Derivada de una función en x0.
Esta definición ya nos da una pista sobre la aplicación de las derivadas en Economía. Por ejemplo, ¿a que a un empresario le interesaría saber cuánto varían sus costes de producción al producir una unidad más? Esa variación se llama coste marginal y podríamos calcularla derivando la función de costes de la empresa.
¿Hasta aquí todo bien? Seguro que sí. Sigamos entonces con la segunda forma de definir la derivada, una definición geométrica. En concreto, la derivada de una función f en x0 equivale a hallar la pendiente de la tangente a la función f en el punto x0.
Para entenderlo mejor, imagina que tienes la gráfica de la función f y has marcado dos puntos, f(x) y f(x0). Traza ahora una recta que pase por los dos puntos. Esa recta se llama secante. Para hallar la pendiente de esa recta secante, utiliza la expresión para calcular pendientes, dividiendo la variación de f entre la variación de x:
Expresión para calcular la pendiente de una recta entre dos puntos de una función.
¡Vaya! ¿No es esto la variación relativa que hemos visto antes? Claro que sí. Entonces, ¿por qué no repetimos la operación anterior y nos vamos al límite? Hagamos eso, movamos el dedo hacia la izquierda, desde el punto f(x) hasta f(x0). La recta que vamos a trazar ahora y que solo toca un punto de la función, f(x0), es la recta tangente a ese punto. Calcular la pendiente de ese punto es repetir el límite que hemos hecho antes, y por eso la derivada de f en x0 es la pendiente de la recta tangente a ese punto.
Gráfica roja: función f(x). Recta azul: recta tangente al punto (0,1) de la función.
¿Veis cómo todo encaja? Muy bien, pero, ¿qué ocurre cuando en un mismo punto de la función es posible trazar más de una recta tangente? Entonces decimos que la derivada no está definida o que la función no es derivable en ese punto. Se trata de una situación con la que nos podemos encontrar en función definidas a trozos o con puntos de discontinuidad y en funciones cuyas gráficas presentan picos, como esta en (0,0):
Por ahora nos quedamos aquí. Continuaremos este repaso a las derivadas en el próximo capítulo.
CONTINUARÁ...
BIBLIOGRAFÍA
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
- Clases de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales del Prof. Segundo García-Risco Sánchez (IES Muñoz-Torrero de Cabeza del Buey).
- GARCÍA PINEDA, P.; NÚÑEZ DEL PRADO, J.A.; GÓMEZ SEBASTIÁN, A. (2007): Iniciación a la Matemática Universitaria, Thomson, Madrid.
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A.: Matemáticas para el Análisis Económico. 2ª ed. Madrid: Pearson, 2012.
Autor:
Manuel V. Montesinos
){kind=link}