1.-Funciones de varias variables (introducción)
En los capítulos anteriores hemos estado repasando algunas de las ideas más importantes sobre las funciones de una variable real, recordando incluso cómo derivarlas. En estas funciones, a cada valor de x que pertenece al dominio se le asigna un único valor de y que queda recogido en la imagen.
Sencillo, ¿verdad? Pues entender la mecánica de las funciones de varias variables es igual de fácil. Como su propio nombre indica, en este tipo de funciones hay más de una variable independiente. Por ejemplo, podemos tener una función de dos variables, x e y, donde por cada par de valores que asignemos a estas dos la función nos devolverá un único valor, que será el que tome z, la variable dependiente.
Para comprenderlo mejor, fijémonos en lo que ocurre en esta función:
Vamos a darle a x el valor 0, y a y vamos a darle el 1. Operemos y nos daremos cuenta de que con ese par de valores, (0,1), la variable dependiente vale 1:
Esto es lo que ha hecho nuestra función, devolvernos un número a partir del par de valores introducido. La comparación con las funciones de una variable sería similar a la de los primeros videojuegos de fútbol frente a los más modernos. Los primeros eran como las funciones de una variable: cada botón que presionabas implicaba una acción determinada por parte del jugador (pulsa O para que el jugador chute). Mientras tanto, las últimas entregas de la saga FIFA que han salido al mercado son más sofisticadas, como las funciones de varias variables: cada combinación de botones conlleva un movimiento distinto (pulsa O y L1 para que el jugador realice una vaselina frente al portero, pulsa O y después X para hacer un amago de disparo...). Formalmente se trata de esto:
Habiéndolo comprendido, resulta fácil entender cualquier tipo de funciones de varias variables, como esta de tres:
Utilizando el trío (2, 2, 1) la función nos devuelve el 7:
Por lo tanto, decimos que una función f de n variables x1, x2,..., xn con dominio R en n (número de variables independientes que tiene la función) es una regla que asigna un número específico f(x1, x2,..., xn) a cada n-vector (x1, x2,..., xn) perteneciente al dominio. A este tipo de funciones las llamaremos a menudo campo escalar.
En realidad, muchos de los temas que vamos a tratar en esta serie estarán relacionados con las funciones de varias variables, dado su papel fundamental en el análisis económico. Los economistas se dedican a estudiar fenómenos en los que intervienen múltiples variables. Por ejemplo, el crecimiento del PIB de un país depende de la evolución del consumo de las familias, la inversión de las empresas, el gasto público, las exportaciones y las importaciones. La relación entre todas estas magnitudes queda recogida en una función de varias variables.
2.-Dominio de funciones de varias variables
Conocer el dominio de las funciones con las que trabajamos es muy útil. Es como conocer los intereses de una persona: te ayuda a mantener una conversación agradable con ella mientras esta se siente cómoda contigo.
Pongamos algunos ejemplos de funciones de varias variables para hallar su dominio:
Ejemplo 1
En este caso lo tenemos fácil. Podemos asignar todos los puntos del plano a x y a y:
Ejemplo 2
Como podemos observar, en esta función tenemos un logaritmo neperiano que afecta al producto de x por y. Como ninguna potencia puede dar como resultado 0 o un número negativo, el producto de x por y solo puede valer más que 0. Por lo tanto, este es el dominio:
Ejemplo 3
Para hallar el dominio de esta función tenemos que prestar mucha atención a la raíz cuadrada del numerador. No podemos realizar la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, el radicando de esta raíz debe ser mayor o igual a 0. De aquí obtenemos la primera condición que cumplen los valores del dominio:
Por otro lado, tenemos a x en el denominador, por lo que no puede valer 0. En conclusión, este es el dominio de la función:
Dominio natural de definición
Como podremos imaginar, el dominio de muchas funciones empleadas para estudiar fenómenos económicos está restringido al campo de los números positivos. El número de unidades de bienes producidos por una empresa, la cantidad de factores productivos empleados... Estas magnitudes solo pueden medirse en positivo. Pues bien, el dominio de este tipo de funciones recibe el nombre de dominio natural de definición.
CONTINUARÁ...
BIBLIOGRAFÍA
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.
Manuel V. Montesinos
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