En el capítulo anterior abordamos por primera vez las funciones de varias variables, tratando de entender qué son y cómo funcionan. También estuvimos explicando cómo se trabaja con el dominio de este tipo de funciones.
Pues bien, en este capítulo vamos a dar un paso más, hablando en primer lugar sobre la manera de representar gráficamente estas funciones y después sobre las curvas de nivel.
1.-Gráficas de funciones de varias variables
Como recordaréis, en el primer capítulo de esta serie aprendimos que una de las herramientas más valiosas a la hora de estudiar el comportamiento y las propiedades de una función es su representación gráfica. Representar funciones de una variable real era muy sencillo. Solo necesitábamos dos ejes, uno horizontal para los valores que asignemos a la variable independiente (x) y otro vertical para los que tome la variable dependiente (y). Formábamos así un plano cartesiano sobre el que podíamos dibujar gráficas en dos dimensiones.
Partiendo de aquí, pensemos: si para representar funciones donde intervienen una variable independiente y otra dependiente necesitamos dos ejes, entonces para representar funciones con, por ejemplo, dos variables independientes y una dependiente tendremos que recurrir a tres ejes, y así sucesivamente. En definitiva, utilizaremos tantos ejes como variables intervengan en la función con la que estemos trabajando.
En esta serie solamente representaremos funciones con dos variables independientes, por lo que obtendremos figuras en el espacio (tres dimensiones). Empecemos con esta función como ejemplo:
Asignemos valores a x e y para que la función nos devuelva los que puede tomar z. La representación de estos tríos de valores en el espacio sería esta:
Fijémonos bien en la gráfica. Como podemos observar, al introducir el par (0,0) la variable dependiente z vale también 0, que es la altura del dibujo en el punto (0,0) del plano xy. Del mismo modo, con el par (5,5) z pasa a valer 50, que es la altura de la gráfica en el punto (5,5) del plano.
Siguiendo la misma mecánica podremos representar cualquier función de dos variables independientes.
2.-Curvas de nivel
Aunque comprendamos cómo representar gráficamente funciones de dos variables, tenemos que reconocer que elaborar estas gráficas manualmente no es tarea fácil. Si ya nos generan dudas las gráficas de algunas funciones de una variable, todavía más cuando intervienen varias variables. Por esta razón es más habitual estudiar el comportamiento de las funciones que estamos viendo a través de sus curvas de nivel, no de sus gráficas.
Formalmente decimos que, dado un campo escalar con n variables, la curva de nivel k, denotada por Sk, es el subconjunto de valores con los que la función toma el valor k:
Tomemos la función que hemos representado antes para poner un ejemplo. Vamos a representar las curvas de nivel de valor 2, 10 y 18:
Como podemos ver, nos encontramos ante una representación en el plano, pues estamos estudiando las combinaciones de x e y con las que la función toma distintos valores. En concreto, la curva del interior contiene todos los pares xy con los que la función vale 2, como por ejemplo (1,1); la siguiente curva contiene los que hacen que la función valga 10, y la que está más hacia afuera los que hacen que la función valga 18, como por ejemplo (3,3). Así, las curvas de nivel son como la sombra proyectada sobre el plano por la gráfica de la función.
Como comentábamos antes, a menudo recurrimos a las curvas de nivel en lugar de a las gráficas en 3D para estudiar distintos aspectos del comportamiento de la función. El crecimiento es uno de ellos. A través de las curvas de nivel que hemos dibujado podemos deducir que la función crece conforme vamos asignando valores más altos a x e y. Por ello las ciencias recurren a ellas con frecuencia. Seguro que muchos os estaréis acordando de las curvas de nivel empleadas en los mapas topográficos para señalar puntos con la misma altitud, o de las isobaras (puntos con la misma presión) de los mapas del tiempo. En Economía están presentes en la resolución de problemas de maximización de utilidad y minimización de costes estudiados en Microeconomía. Es como si para conocer a una persona nos bastara con observar la sombra de su silueta.
CONTINUARÁ...
BIBLIOGRAFÍA
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.
