1.-Derivadas parciales
Como recordaremos de anteriores capítulos, las derivadas de las funciones de una variable real nos permiten conocer cómo varía la magnitud medida por la función a partir de los cambios producidos en la variable independiente. Pues bien, para estudiar la variación de funciones de varias variables recurriremos a las derivadas parciales. Tomando la función z=f(x, y), que es un campo escalar en R2 (dos variables independientes), definimos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x, y) así:
Sí, como cualquier derivada las parciales proceden de un límite. Derivar f con respecto a x consiste en llevar al límite la variación relativa de f entre (x+h, y) y (x, y). De esta manera podemos saber cómo va a variar el valor de la función después de un cambio en x manteniendo y constante. Para cuantificar ese cambio, es decir, la variación absoluta de f entre (x+h, y) y (x, y) tendríamos que restarle al valor de f en (x+h, y) el que tiene en (x, y):
Sin embargo, es posible calcular esta variación de una manera más rápida obteniendo una aproximación, no un resultado exacto. Si la derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x, y) nos dice cuánto varía la función después de un cambio muy pequeño (infinitesimal) en x, multipliquémosla por el número de unidades en que varía x, que es h en este caso, y tendremos el resultado que buscamos:
Igualmente, la derivada parcial de f con respecto a y nos permite saber cuánto varía f a partir de un cambio infinitesimal en y mientras x se mantiene constante. La definimos así:
Gracias a las derivadas parciales sabemos además si la función crece o decrece a medida que el valor de x cambia mientras el de y se mantiene constante, y viceversa. Por ejemplo, si la derivada parcial de f con respecto a x es mayor que 0, entonces f crece conforme x va aumentando; si la derivada es 0, f se mantendrá constante, y si la derivada es menor que 0, f disminuirá.
Vale, el concepto está claro, pero, ¿cómo realizamos una derivada parcial? Es muy sencillo: tan solo hay que aplicar las mismas reglas de derivación que estudiamos para las funciones de una variable, que afectarán únicamente a la variable con respecto a la que estamos derivando. Derivemos esta función como ejemplo:
Para obtener la parcial con respecto a x, apliquemos las reglas de derivación sobre la variable x, tratando a y como a una constante:
La parcial con respecto a y sería esta:
Dado el papel tan importante que tienen las funciones de varias variables en Economía, los economistas empelan a menudo en sus análisis las derivadas parciales. Pensemos por ejemplo en la función de producción de una empresa, que relaciona combinaciones de capital y trabajo (inputs) con el número de unidades producidas de bienes o servicios (outputs) a partir de los primeros. Si derivamos la función de producción con respecto al capital, obtendremos la productividad marginal del capital (fK), es decir, cuánto varía la producción cuando añadimos una unidad más de capital al proceso productivo. Mientras tanto, si derivamos la función con respecto al trabajo, obtendremos la productividad marginal del trabajo (fL), esto es, cuánto varía la producción al emplear una unidad más de trabajo.
2.-Derivadas parciales de segundo orden y superior
Al calcular las derivadas parciales de una función de varias variables es posible obtener funciones que también son derivables. Derivándolas de nuevo obtendré las derivadas parciales de segundo orden. Si inicialmente tenemos un campo escalar de dos variables, será posible calcular cuatro derivadas parciales segundas:
-Derivada de la parcial de x con respecto a x:
-Derivada de la parcial de x con respecto a y:
-Derivada de la parcial de y con respecto a x:
-Derivada de la parcial de y con respecto a y:
Las derivadas parciales segundas pueden ser reunidas en una matriz que conocemos con el nombre de hessiana:
Debemos saber también que, según el teorema de Schwarz, si las derivadas parciales primeras existen y son funciones continuas (lo serán a lo largo de toda esta serie), entonces las derivadas parciales segundas cruzadas son iguales:
Por supuesto, si volvemos a derivar estas parciales segundas llegaríamos a las parciales de tercer orden, luego a las de cuarto orden, y así sucesivamente...
Pero para comprender el significado de las parciales de segundo orden, volvamos a la función de producción que hemos mencionado antes, f(L, K). Es lógico pensar que las dos parciales primeras de f son mayores que 0, puesto que lo natural al utilizar una unidad más de trabajo o capital es que se dé un aumento de la producción.
Realicemos ahora la parcial fLL, es decir, derivemos la parcial primera con respecto al trabajo de nuevo con respecto a este factor. Si fLL es positiva, entonces la productividad marginal del trabajo crece conforme empelamos más unidades de trabajo. En otras palabras, la aportación a nuestra empresa de cada trabajador extra que contratamos es mayor que la del anterior conforme vamos contratando más gente.
Si fLL es 0, la productividad marginal del trabajo es constante, de modo que todos los trabajadores extra que contratemos aportarán lo mismo a nuestra empresa.
Por último, si fLL es menor que 0, la productividad marginal del trabajo es decreciente, de tal modo que cada trabajador extra que contratemos aporta menos que el anterior (pensando en un bar, llega un momento en que un camarero más en la barra está sin hacer nada, ya que el resto de sus compañeros bastan para atender a todos los clientes).
En cuanto al signo que presentan las derivadas parciales de segundo orden cruzadas, si fLK es menor que 0, entonces la productividad marginal del trabajo disminuye a medida que vamos utilizando más unidades de capital. En cambio, si fLK es mayor que 0, entonces la productividad marginal del trabajo aumenta conforme vamos usando más unidades de capital (se dice entonces que el trabajo y el capital son factores complementarios). Y si fLK es 0, la productividad marginal del trabajo se mantiene constante mientras aumenta el número de unidades de capital empleadas.
CONTINUARÁ…
BIBLIOGRAFÍA
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.
Manuel V. Montesinos
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