Fuente: medialexpress.com
En la entrada anterior repasamos las contribuciones de Alvin E. Roth, Lloyd S. Shapley y David Gale a la teoría de las asignaciones estables y el diseño de mercados. Gracias a ellas, los economistas hemos encontrado soluciones a problemas de emparejamiento o de matching, en los cuales consideramos mercados con dos grupos de agentes y nuestra tarea es emparejar a cada agente en uno de esos dos grupos con un agente en el otro lado, o dejarlo sin pareja, teniendo en cuenta las preferencias que los agentes de cada lado tienen sobre los del otro.
La investigación en este campo ha ayudado a mejorar el funcionamiento de muchas instituciones, y no exageramos si decimos que ha cambiado la vida de mucha gente. Para entender por qué, vamos a poner como ejemplo el problema de emparejamiento que existe en el sistema de trasplantes de riñón.
Como bien es sabido, las personas con enfermedades renales disponen de dos tratamientos: diálisis y trasplante. Esta segunda alternativa suele ser preferida a la primera, que genera una fuerte dependencia y tiene efectos secundarios físicos y psicológicos. El primer trasplante de riñón realizado con éxito tuvo lugar en Boston, el 23 de diciembre de 1954. En él participaron dos hermanos gemelos para eliminar el riesgo al rechazo del órgano trasplantado, y el hermano con enfermedad renal pudo vivir ocho años tras la operación.
Fuente: ebuenasnoticias.com
Desde entonces, los avances en las terapias inmunosupresoras han posibilitado los trasplantes de riñones procedentes tanto de donantes fallecidos como de donantes vivos. A finales del siglo pasado, la mayoría de los riñones trasplantados procedían de donantes difuntos (en España, menos del 1% de los donantes eran personas vivas). Sin embargo, la calidad y tasa de éxito de los riñones procedentes de personas vivas es mayor. En concreto, se calcula que la probabilidad de que un riñón trasplantado funcione durante cinco años es de un 87% si es donado por una persona viva, y de un 80% si es donado por un difunto. Asimismo, la probabilidad de que el receptor sobreviva cinco años tras la operación es de un 93% y un 86%, respectivamente.
La escasez de riñones en los sistemas de trasplantes de todos los países (cada paciente debe esperar, de media, más de dos años para recibir un trasplante) ha sido otra de las razones para promover la participación de donantes vivos en estos programas. Gracias a ello, en España, por ejemplo, cerca del 11% de los trasplantes de riñón realizados en 2017 procedían de donantes vivos.
Aparte de la escasez, el mayor problema de organización del sistema es planteado por las incompatibilidades entre el donante y el receptor del riñón. De esta manera, si solo permitiéramos donaciones directas, en las que cada paciente recibe uno de los riñones de su donante, normalmente un familiar o amigo, el trasplante no sería posible si estas dos personas fueran incompatibles. Debido a ello, se estima que un tercio de las parejas paciente-donante serían excluidas del sistema.
Felix T. Rapaport (1929-2001). Fuente www.uhmc.sunysb.edu
Hasta 1986, los programas de trasplantes de riñón no contemplaban otra alternativa que la cancelación del trasplante en caso de incompatibilidad. Pero ese año el doctor Felix T. Rapaport propuso los intercambios de riñones entre donantes vivos. De este modo, una pareja donante-paciente A puede ser incompatible, y lo mismo puede ocurrir con otra pareja B. Pero si el donante A es compatible con el paciente B, y el donante B es compatible con el paciente A, se puede realizar un intercambio entre estas dos parejas. Por supuesto, el mismo razonamiento sería válido para un número mayor de parejas.
En este contexto, la pregunta de diseño de mercado es si podemos encontrar un conjunto de trasplantes compatibles para cada problema de intercambio de riñones. A partir de una adaptación del modelo general de Shapley y Scarf (1974), Roth, Sönmez y Unver (2004) propusieron una solución a este problema basada en la aplicación del algoritmo Top Trading Cycle (TTC), desarrollado por David Gale y publicado por Shapley y Scarf.
Ilustremos el funcionamiento de este algoritmo con un ejemplo. Supongamos que nos encontramos ante ocho parejas de donantes y pacientes que son incompatibles entre sí, de tal manera que el donante 1 es incompatible con el paciente 1, el donante 2 es incompatible con el paciente 2, y así hasta la pareja 8. La siguiente tabla representa la lista de preferencias de cada paciente sobre los riñones disponibles, de mejor a peor. Si nos fijamos en el paciente 1, vemos que es compatible con los riñones 2, 3, 5, 6 y 8, preferidos en este orden, e incompatible con los riñones 1, 7 y 4. La interpretación de la tabla es análoga para el resto de pacientes.
Lista de preferencias sobre riñones de cada paciente.
Dadas estas preferencias, el primer paso del algoritmo TTC es dibujar un gráfico con ocho nodos que representan a las ocho parejas de este problema. A continuación, para cada nodo dibujamos una flecha apuntando al primer riñón que aparece en la lista de preferencias de cada paciente. En este ejemplo, el nodo 1 apuntaría al nodo 2, el 2 al 3, el 3 al 1, el 4 al 8, el 5 al 4, el 6 al 8, el 7 al 4, y el 8 al 6. Después, comprobamos si se ha formado algún ciclo, esto es, una secuencia que empieza y termina en el mismo nodo. En nuestro gráfico podemos observar que hay un ciclo entre los parejas 1, 2 y 3, y otro entre las parejas 6 y 8. Seguidamente, procedemos a emparejar a los pacientes en cada uno de estos ciclos con el riñón al que están apuntando: el paciente 1 obtendría el riñón 2, el paciente 2 el riñón 3, el paciente 3 el riñón 1, el paciente 6 el riñón 8, y el paciente 8 el riñón 6.
Primera iteración de TTC.
Tras hacer los primeros emparejamientos, repetimos el procedimiento con los pacientes que no han sido emparejados con ningún riñón en la etapa anterior. En nuestro caso, el nodo 4 apunta al nodo 7, el 5 al 4, y el 7 al 4, por lo que las parejas 4 y 7 forman un ciclo y realizan un intercambio entre ellas.
Segunda iteración de TTC.
Al final del proceso, el paciente 5 es el único que no ha obtenido un riñón compatible, por lo que deberá esperar a una nueva aplicación del algoritmo con otras parejas distintas. Habremos obtenido así la solución a este problema de intercambio.
Tercera iteración de TTC.
Es importante señalar que en cada iteración del algoritmo encontraremos al menos un ciclo, ya que hay un número finito de parejas y cada ciclo puede contener, como mínimo, un solo nodo cuyo paciente apunta al riñón de su donante. Si hay varios ciclos, no puede haber intersecciones entre ellos.
Por otro lado, es interesante preguntarse por qué querríamos resolver todos los problemas de donación cruzada mediante la aplicación de este algoritmo. Es posible enumerar varias razones para ello:
- La asignación resultante es racional individualmente: cada paciente termina mejor (recibiendo un riñón) o igual que en la situación inicial (diálisis).
- La asignación es eficiente: si cambiamos la asignación para dar un riñón mejor a alguno de los pacientes, estaremos empeorando la situación de otro de los pacientes.
- Se trata de una asignación estable: es imposible hallar un grupo de parejas que, mediante intercambios entre los miembros de este grupo, puedan obtener mejores riñones que los de la asignación inicial. Además, esta es la única asignación del problema que cumple esta propiedad.
- Este mecanismo para resolver el problema es a prueba de estrategias: ningún paciente podría obtener un riñón mejor anunciando una lista de preferencias distinta a la que de verdad tiene.
En conclusión, la solución al problema de donación cruzada de riñón propuesta por Roth y sus coautores representa un caso de éxito en la aplicación de la teoría de las asignaciones estables y el diseño de mercados al mundo real. Unas ideas que han permitido mejorar el funcionamiento de los sistemas de donación de órganos de los países que las han puesto en práctica y la salud de muchas personas.
Referencias
- Massó, Jordi, “The Theory of Stable Allocations and the Practice of Market Design. The Nobel Prize in Economics 2012 for Alvin E. Roth and Lloyd S.Shapley”, Contributions to Science, 2016, (11), 103–112.
- Roth, Alvin. E., Tayfun Sönmez, and M. Utku Unver, “Kidney Exchange”, The Quarterly Journal of Economics, may 2004, 119 (2), 457–488.
- Shapley, Lloyd S. and Herbert E. Scarf, “On Cores and Indivisibility”, Journal of Mathematical Economics, mar 1974, 1 (1), 23–37.
