Ya que el concepto de función no nos supone ningún problema, continuemos con nuestro repaso a las funciones de una variable real. Como comentábamos al final del capítulo anterior, no todo son líneas rectas en el mundo de las funciones. Al igual que cada persona tiene unos rasgos que la definen y distinguen del resto, existen distintos tipos de funciones, cada uno con sus particularidades. Lo que haremos a continuación será repasar los que nos interesan más para trabajar en capítulos posteriores.
1.-Funciones constantes
Como su propio nombre indica, las funciones constantes son las que asignan un único número a cualquier otro que introduzcamos en la función:
y = f(x) = constante
De esta manera, la variable dependiente solo puede tomar un solo valor. Por esta razón, las gráficas de las funciones constantes son rectas que pasan por el número constante al que está igualada la función.
¿Aburrido y simple? No tanto. Las funciones constantes son más útiles de lo que parecen. De hecho en Economía se recurre a ellas para representar situaciones tan frecuentes como las de costes fijos o tarifas planas.
Una función constante sería esta:
y = 3
Como podemos ver, para todos los valores de x la variable y vale 3. Por lo tanto, su dominio estaría compuesto por todos los números reales y su imagen solo por el número 3:
2.-Funciones lineales
Las funciones lineales son aquellas donde la variable independiente aparece multiplicada por un número (a) que representa algebraicamente la proporción en la que interviene esa variable:
La forma de las gráficas de este tipo de funciones se asocia fácilmente con su denominación. Se trata de una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y que está más o menos inclinada dependiendo del número que multiplica a la variable independiente. Ese número se llama pendiente. Los costes variables de una empresa, que dependen del número de unidades producidas, pueden ajustarse a una función lineal.
Un ejemplo de función lineal sería este:
y = 5x
El dominio y el rango están compuestos por todos los números reales:
3.-Funciones afines
En las funciones afines la variable independiente también aparece multiplicada por un número como en las funciones lineales. La diferencia está en que también aparece sumada una constante (b):
Los costes totales de una empresa, que resultan de sumar costes fijos y costes variables, pueden representarse mediante funciones afines.
La función que utilizamos como ejemplo en el capítulo 2 es de este tipo:
y = 2x + 1
Tanto el dominio como el rango estarían constituidos por todos los números reales:
4.-Otras funciones polinómicas
En realidad, las funciones lineales y afines se pueden estudiar como casos particulares dentro de una categoría superior, que son las funciones polinómicas, es decir, las que se presentan en forma de polinomio:
Aparte de las dos anteriores, polinómicas son también las funciones cuadráticas, con forma de polinomio de orden 2 donde a, b y c son constantes y a es distinta de 0:
Las funciones cuadráticas dan lugar a una representación gráfica en forma de parábola, con las ramas hacia arriba (U) cuando a>0, y con las ramas hacia abajo (U invertida) cuando a<0. Un ejemplo de función cuadrática sería esta:
En este caso, el dominio estaría constituido por todos los números reales, mientras que el intervalo comprendido entre 0’75 e infinito positivo sería la imagen:
Al estudiar este tipo de funciones se suelen realizar siempre dos preguntas:
- ¿Para qué valores de x (si los hay) es f(x) = 0?
- ¿Qué coordenadas tiene el máximo o el mínimo de la función?
La respuesta a la primera implica hallar los puntos de corte de la parábola con el eje x, que es donde la variable dependiente vale 0. Para ello igualamos f(x) a 0 y resolvemos la ecuación empleando esta expresión:
Para responder a la segunda pregunta normalmente se recurre al cálculo de los puntos críticos de la función, que se hallan derivando la función. Repasaremos más adelante esta operación. También podemos conocer el máximo o el mínimo de una función cuadrática empleando esta expresión, que nos da las coordenadas del punto buscado:
Si a>0, entonces la función tiene su mínimo en ese punto, y si a<0, estas son las coordenadas de su máximo.
Después de las cuadráticas, consideremos las funciones cúbicas, que tienen la siguiente apariencia (a, b, c y d son constantes y a no es 0):
Mientras en las funciones lineales y cuadráticas es fácil entender su comportamiento a partir de sus gráficas, en las funciones cúbicas es más complicado porque la forma de las gráficas cambia drásticamente cuando los coeficientes a, b, c y d varían. Demos un ejemplo de función cúbica:
El dominio y el rango comprenden en este caso todos los números reales:
El repaso de las funciones polinómicas nos lleva a las funciones racionales, que resultan de dividir dos funciones polinómicas P(x) y Q(x), y que están definidas para todo x tal que Q(x) sea distinto de 0:
La función racional R(x) es propia si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), o impropia si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x).
Aquí tenemos un ejemplo de función racional:
El dominio de esta función está compuesto por todos los números reales salvo el 2, y el rango por todos los números reales salvo el 1. Así, la función presenta una asíntota vertical en x = 2 y una asíntota horizontal en y = 1.
Las tres funciones polinómicas que acabamos de ver (cuadráticas, cúbicas y racionales) también se utilizan a menudo en Economía para representar variables como la producción, los costes o los beneficios de una empresa.
Nos detenemos aquí. Completaremos nuestro repaso a los tipos de funciones de una variable en el próximo capítulo.
CONTINUARÁ...
BIBLIOGRAFÍA
- GARCÍA PINEDA, P.; NÚÑEZ DEL PRADO, J.A.; GÓMEZ SEBASTIÁN, A. (2007): Iniciación a la Matemática Universitaria, Thomson, Madrid.
- SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.
- Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
Autor:
Manuel V. Montesinos
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