Matemáticas para Economía. Capítulo 6: Derivadas (III)

En el capítulo anterior estuvimos repasando las reglas de derivación más importantes. Para reforzar esos conocimientos expondremos a continuación una serie de ejemplos.

Ejemplo 1

Como podemos observar, tenemos que recurrir a las reglas de derivación para funciones trigonométricas, potenciales y a la regla de la cadena, de tal manera que este sería el resultado:

Aplicamos primero la derivada de la función potencial sobre el seno al cuadrado. Siguiendo la regla de la cadena, utilizamos ahora la derivada del seno y luego la de la función potencial de nuevo para x elevado a 4.

Ejemplo 2

Antes de derivar esta función aconsejo reescribirla modificando un pequeño detalle. Me refiero a la raíz que vemos en el denominador. Expresarla en forma de potencia puede facilitarnos las cosas:

Para derivar esta función tenemos que empezar utilizando la derivada de un cociente y después pasar a aplicar la derivada de la función potencial, de la suma y de la función afín:

Puede resultar algo laborioso, pero siendo ordenados no tiene por qué haber problemas. Sí, las Matemáticas requieren mucha disciplina y precisión, pero ese es precisamente uno de sus mayores atractivos.

Ejemplo 3

Igual que en el ejemplo anterior, vamos a hacer una pequeña modificación para facilitar operaciones posteriores. Si nos fijamos bien, tenemos el logaritmo neperiano de e elevado a x, cuyo resultado es x:

Ya para derivar, nos tenemos que fijar en que aparecen senos y cosenos. Siguiendo la regla de la cadena, derivamos primero el seno, lo que da como resultado el coseno, que queda multiplicado por el coseno de x. Ahora tenemos que derivar el coseno de x, lo que da lugar al seno negativo de x, que va a estar multiplicando a todo lo anterior:

Ejemplo 4

Al igual que en los ejemplos 2 y 3, vamos a reescribir la función para que operar con ella nos resulte más fácil. Así, vamos a expresarla en términos del número e, cosa que podemos hacer con cualquier función exponencial de esta manera:

Derivamos aplicando la regla de la cadena, por lo que usaremos primero la derivada de la función exponencial con el número e como base y luego la derivada del producto al que e está elevado:

Con estos ejemplos será suficiente. De todos modos, seguiremos derivando en los próximos capítulos.

CONTINUARÁ...

BIBLIOGRAFÍA

Clases de Matemáticas I de la Prof. Dra. Haydée Corina Lugo Arocha (Universidad Complutense de Madrid).
Clases de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales del Prof. Segundo García-Risco Sánchez (IES Muñoz-Torrero de Cabeza del Buey).
GARCÍA PINEDA, P.; NÚÑEZ DEL PRADO, J.A.; GÓMEZ SEBASTIÁN, A. (2007): Iniciación a la Matemática Universitaria, Thomson, Madrid.
SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico, Pearson, Madrid.